## 题目描述 输入一个字符串,打印出该字符串中字符的所有排列。 例如输入字符串abc,则输出由字符a、b、c 所能排列出来的所有字符串 abc、acb、bac、bca、cab 和 cba。 ## [](https://github.com/julycoding/The-Art-Of-Programming-By-July/blob/master/ebook/zh/01.06.md#分析与解法)分析与解法 ### [](https://github.com/julycoding/The-Art-Of-Programming-By-July/blob/master/ebook/zh/01.06.md#解法一递归实现)解法一、递归实现 从集合中依次选出每一个元素,作为排列的第一个元素,然后对剩余的元素进行全排列,如此递归处理,从而得到所有元素的全排列。以对字符串abc进行全排列为例,我们可以这么做:以abc为例 * 固定a,求后面bc的排列:abc,acb,求好后,a和b交换,得到bac * 固定b,求后面ac的排列:bac,bca,求好后,c放到第一位置,得到cba * 固定c,求后面ba的排列:cba,cab。 代码可如下编写所示: ~~~ void CalcAllPermutation(char* perm, int from, int to) { if (to <= 1) { return; } if (from == to) { for (int i = 0; i <= to; i++) cout << perm[i]; cout << endl; } else { for (int j = from; j <= to; j++) { swap(perm[j], perm[from]); CalcAllPermutation(perm, from + 1, to); swap(perm[j], perm[from]); } } } ~~~ ### [](https://github.com/julycoding/The-Art-Of-Programming-By-July/blob/master/ebook/zh/01.06.md#解法二字典序排列)解法二、字典序排列 首先,咱们得清楚什么是字典序。根据维基百科的定义:给定两个偏序集A和B,(a,b)和(a′,b′)属于笛卡尔集 A × B,则字典序定义为 (a,b) ≤ (a′,b′) 当且仅当 a < a′ 或 (a = a′ 且 b ≤ b′)。 所以给定两个字符串,逐个字符比较,那么先出现较小字符的那个串字典顺序小,如果字符一直相等,较短的串字典顺序小。例如:abc < abcd < abde < afab。 那有没有这样的算法,使得 * 起点: 字典序最小的排列, 1-n , 例如12345 * 终点: 字典序最大的排列,n-1, 例如54321 * 过程: 从当前排列生成字典序刚好比它大的下一个排列 答案是肯定的:有,即是STL中的next_permutation算法。 在了解next_permutation算法是怎么一个过程之前,咱们得先来分析下“下一个排列”的性质。 * 假定现有字符串(A)x(B),它的下一个排列是:(A)y(B’),其中A、B和B’是“字符串”(可能为空),x和y是“字符”,前缀相同,都是A,且一定有y > x。 * 那么,为使下一个排列字典顺序尽可能小,必有: * A尽可能长 * y尽可能小 * B’里的字符按由小到大递增排列 现在的问题是:找到x和y。怎么找到呢?咱们来看一个例子。 比如说,现在我们要找21543的下一个排列,我们可以从左至右逐个扫描每个数,看哪个能增大(至于如何判定能增大,是根据如果一个数右面有比它大的数存在,那么这个数就能增大),我们可以看到最后一个能增大的数是:x = 1。 而1应该增大到多少?1能增大到它右面比它大的那一系列数中最小的那个数,即:y = 3,故此时21543的下一个排列应该变为23xxx,显然 xxx(对应之前的B’)应由小到大排,于是我们最终找到比“21543”大,但字典顺序尽量小的23145,找到的23145刚好比21543大。 由这个例子可以得出next_permutation算法流程为: next_permutation算法 * 定义 * 升序:相邻两个位置ai < ai+1,ai 称作该升序的首位 * 步骤(二找、一交换、一翻转) * 找到排列中最后(最右)一个升序的首位位置i,x = ai * 找到排列中第i位右边最后一个比ai 大的位置j,y = aj * 交换x,y * 把第(i+ 1)位到最后的部分翻转 还是拿上面的21543举例,那么,应用next_permutation算法的过程如下: * x = 1; * y = 3 * 1和3交换 * 得23541 * 翻转541 * 得23145 23145即为所求的21543的下一个排列。参考实现代码如下: ~~~ bool CalcAllPermutation(char* perm, int num){ int i; //①找到排列中最后(最右)一个升序的首位位置i,x = ai for (i = num - 2; (i >= 0) && (perm[i] >= perm[i + 1]); --i){ ; } // 已经找到所有排列 if (i < 0){ return false; } int k; //②找到排列中第i位右边最后一个比ai 大的位置j,y = aj for (k = num - 1; (k > i) && (perm[k] <= perm[i]); --k){ ; } //③交换x,y swap(perm[i], perm[k]); //④把第(i+ 1)位到最后的部分翻转 reverse(perm + i + 1, perm + num); return true; } ~~~ 然后在主函数里循环判断和调用calcAllPermutation函数输出全排列即可。 ### [](https://github.com/julycoding/The-Art-Of-Programming-By-July/blob/master/ebook/zh/01.06.md#解法总结)解法总结 由于全排列总共有n!种排列情况,所以不论解法一中的递归方法,还是上述解法二的字典序排列方法,这两种方法的时间复杂度都为O(n!)。 ## [](https://github.com/julycoding/The-Art-Of-Programming-By-July/blob/master/ebook/zh/01.06.md#类似问题)类似问题 1、已知字符串里的字符是互不相同的,现在任意组合,比如ab,则输出aa,ab,ba,bb,编程按照字典序输出所有的组合。 分析:非简单的全排列问题(跟全排列的形式不同,abc全排列的话,只有6个不同的输出)。 本题可用递归的思想,设置一个变量表示已输出的个数,然后当个数达到字符串长度时,就输出。 ~~~ //copyright@ 一直很安静 && World Gao //假设str已经有序 void perm(char* result, char *str, int size, int resPos) { if(resPos == size) printf("%s\n", result); else { for(int i = 0; i < size; ++i) { result[resPos] = str[i]; perm(result, str, size, resPos + 1); } } } ~~~ 2、如果不是求字符的所有排列,而是求字符的所有组合,应该怎么办呢?当输入的字符串中含有相同的字符串时,相同的字符交换位置是不同的排列,但是同一个组合。举个例子,如果输入abc,它的组合有a、b、c、ab、ac、bc、abc。 3、写一个程序,打印出以下的序列。 ~~~ (a),(b),(c),(d),(e)........(z) (a,b),(a,c),(a,d),(a,e)......(a,z),(b,c),(b,d).....(b,z),(c,d).....(y,z) (a,b,c),(a,b,d)....(a,b,z),(a,c,d)....(x,y,z) .... (a,b,c,d,.....x,y,z) ~~~