## 坐标旋转和斜面反弹 坐标旋转，顾名思义，就是说围绕着某个点旋转坐标系。这一章就来介绍一下如何实现坐标旋转和坐标旋转的作用。 内容如下： - 坐标旋转 - 斜面反弹 **1、坐标旋转** **1.1 简单旋转** 在前面的三角函数一章中的实例“指红针”中，我们已经使用过坐标旋转技术。只需一个中心点，一个物体，还有半径和角度（弧度制），通过增减这个角度，然后用基本的三角函数计算位置，就能使物体围绕着中心点旋转。 初始化参数： ``` vr = 0.1; //角度增量 angle = 0; radius = 100; centerX = 0; centerY = 0; ``` 在动画循环中做下列计算： ``` object.x = centerX + Math.cos(angle) * radius; object.y = centerY + Math.sin(angle) * radius; angle += vr; ``` 实例： canvas-demo/rotate.html 每次旋转角度vr设置为0.05，根据上面的公式计算小球旋转后的位置。 如果只知道物体的位置和中心点，如何做旋转呢？其实也不难，我们只需根据两个点来计算出当前角度和半径即可： ``` var dx = ball.x - centerX; var dy = ball.y - centerY; var angle = Math.atan2(dy,dx); var radius = Math.sqrt(dx * dx + dy * dy); ``` 得到角度和半径，我们就可以像上面那样旋转了。 上面的方法比较适合单个物体旋转，对于多个物体的旋转，这种方法不是很高效，当然，我们有更好的方法。 **1.2 高级坐标旋转** 如果物体(x,y)围绕着一个点(x2,y2)旋转，而我们只知道物体的坐标和点的坐标，那如何计算旋转后物体的坐标呢？下面有一个很适合这种场景的公式： ``` x1 = (x - x2) * cos(rotation) - (y - y2) * sin(rotation); y1 = (y - y2) * cos(rotation) + (x - x2) * sin(rotation); ``` 我们可以认为(x-x2)、(y-y2)是物体相对于旋转点的坐标，rotation是旋转角度（旋转量，指当前角度和旋转后的角度的差值），x1、y1是物体旋转后的位置坐标。 注意：这里采取的依旧是弧度制。 这条公式是不是看的有点糊里糊涂的，不知道怎么来的，下面我们将介绍它是如何得出的。 先看图：  ``` /*物体当前的坐标*/ x = radius * cos(angle); y = radius * sin(angle); /*物体旋转rotation后的坐标*/ x1 = radius * cos(angle + rotation); y1 = radius * sin(angle + rotation); ``` 下面又来介绍一个两个关于三角函数的数学公式了。 两角之和的余弦值： ``` cos(a + b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b); ``` 两角之和的正弦值： ``` sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b); ``` 基于这两条推导公式，我们将x1和y1的公式展开： ``` x1 = radius * cos(angle) * cos(rotation) - radius * sin(angle) *sin(rotation); y1 = radius * sin(angle) * cos(rotation) + radius * cos(angle) * sin(rotation); ``` 最后将x、y变量代入公式，就会得到最初那条公式： ``` x1 = x * cos(rotation) - y * sin(rotation); y1 = y * cos(rotation) + x * sin(rotation); ``` 注意：这里的x、y是相对于旋转点的x、y坐标，也就是上面的(x-x2)、(y-y2)，而不是相对于坐标系的坐标。 使用这个公式，我们不需要知道起始角度和旋转后的角度，只需要知道旋转角度即可。 **（1）旋转单个物体** 有了公式，当然要实践一下，我们先来试试旋转单个物体 这里的vr依旧是0.05，然后计算这个角度的正弦和余弦值，然后根据小球相对于中心点的位置计算出x1、y1，接着利用公式计算出小球旋转后的坐标。 ``` sin = Math.sin(angle); cos = Math.cos(angle); var x1 = ball.x - centerX; var y1 = ball.y - centerY; ball.x = centerX + (x1 * cos - y1 * sin); ball.y = centerY + (y1 * cos + x1 * sin); ``` 还是要强制一句，这个公式传入的x、y是物体相对于旋转点的坐标，不是旋转点的坐标，也不是物体的坐标。 你可能会疑惑，这不是跟第一个例子的效果一样吗？为什么要用这个公式呢？不要急，接着看下面的旋转多个物体，看完后你就会明白这条公式的好处了。 **（2）旋转多个物体** 假如要旋转多个物体，我们将小球保存在变量balles的数组中，旋转代码如下： ``` balles.forEach(function(ball){ var dx = ball.x - centerX; var dy = ball.y - centerY; var angle = Math.atan2(dy,dx); var dist = Math.sqrt(dx * dx + dy * dy); angle += vr; ball.x = centerX + Math.cos(angle) * dist; ball.y = centerY + Math.sin(angle) * dist; }); ``` 使用高级坐标旋转是这样的： ``` var cos = Math.cos(vr); var sin = Math.sin(vr); balles.forEach(function(ball){ var x1 = ball.x - centerX; var y1 = ball.y - centerY; var x2 = x1 * cos - y1 * sin; var y2 = y2 * cos + x1 * sin; ball.x = centerX + x2; ball.y = centerY + y2; }); ``` 我们来对比一下这两种方式，在第一种方式中，每次循环都调用了4次Math函数，也就是说，旋转每一个小球都要调用4次Math函数，而第二种方式，只调用了两次Math函数，而且都位于循环之外，不管增加多少小球，它们都只会执行一次。 实例：canvas-demo/rotate3.htmll 我们用鼠标来控制多个球的旋转速度，如果鼠标位置在canvas的中央，那么它们都静止不动，如果鼠标向左移动，这些小球就沿逆时针方向旋转，如果向右移动，小球就沿顺时针方法越转越快。 **2、斜面反弹** 前面我们学习了如何让物体反弹，不过都是基于垂直或水平的反弹面，如果是一个斜面，我们该如何反弹呢？ 处理斜面反弹，我们要做的是：旋转整个系统使反弹面水平，然后做反弹，最后再旋转回来，这意味着反弹面、物体的坐标位置和速度向量都发生了旋转。  图1是小球撞向斜面，向量箭头表示小球的方向 图2中，整个场景旋转了，反弹面处于水平位置，就像前面碰撞示例中的底部障碍一样。在这里，速度向量也随着整个场景向右旋转了。 图3中，我们就可以实现反弹了，也就是改变y轴上的速度 图4中，就是整个场景旋转回到最初的角度。 什么，你还看不明白，那我再给你画个图吧：  斜面和小球的旋转都是相对于(x,y)。 经历了上图，你应该明白，如果还不明白，请自己画图看看，画出每一步。 **2.1 旋转起来** 为了斜面反弹的真实性，我们需要创建一个斜面，在canvas中，我们只需画一条斜线，这样我们就可以看到小球在哪里反弹了。 相信画直线对你来说不难，下面创建一个Line类： ``` function Line(x1, y1, x2, y2) { this.x = 0; this.y = 0; this.x1 = (x1 === undefined) ? 0 : x1; this.y1 = (y1 === undefined) ? 0 : y1; this.x2 = (x2 === undefined) ? 0 : x2; this.y2 = (y2 === undefined) ? 0 : y2; this.rotation = 0; this.scaleX = 1; this.scaleY = 1; this.lineWidth = 1; }; /*绘制直线*/ Line.prototype.draw = function(context) { context.save(); context.translate(this.x, this.y); //平移 context.rotate(this.rotation); // 旋转 context.scale(this.scaleX, this.scaleY); context.lineWidth = this.lineWidth; context.beginPath(); context.moveTo(this.x1, this.y1); context.lineTo(this.x2, this.y2); context.closePath(); context.stroke(); context.restore(); }; ``` 先看实例（点击一下按钮看看）：canvas-demo/rotateBevel.html 在上面的例子中，我创建的小球是随机位置的，不过都位于斜线的上方。 一开始，我们首先声明ball、line、gravity和bounce，然后初始化ball和line的位置，接着计算直线旋转角度的cos和sin值 ``` line = new Line(0, 0, 300, 0); line.x = 50; line.y = 200; line.rotation = (10 * Math.PI / 180); //设置线的倾斜角度 cos = Math.cos(line.rotation); sin = Math.sin(line.rotation); ``` 接下来，用小球的位置减去直线的位置(50,100)，就会得到小球相对于直线的位置： ``` var x1 = ball.x - line.x; var y1 = ball.y - line.y; ``` 完成了上面这些，我们现在可以开始旋转，获取旋转后的位置和速度： ``` var x2 = x1 * cos + y1 * sin; var y2 = y1 * cos - x1 * sin; ``` 如果你够仔细，可能你也发现了，这里的代码好像和坐标旋转公式有点区别： ``` x1 = x * cos(rotation) - y * sin(rotation); y1 = y * cos(rotation) + x * sin(rotation); ``` 加号变减号，减号变加号了，写错了吗？其实没有，这是因为现在直线的斜度是10，那要将它旋转成水平的话，就不是旋转10，而是-10才对： ``` sin(-10) = - sin(10) cos(-10) = cos(10) ``` 当你旋转后获得相对于直线的坐标和速度后，你就可以使用位置x2、y2和速度vx1、vy1来执行反弹了，根据什么来判断球碰撞直线呢？用y2，因为此时y2是相对直线的位置的，所以“底边”就是line自己，也就是0，还要考虑小球的大小，需要判断y2是否大于0-ball.radius： ``` if(y2 > -ball.radius) { y2 = -ball.radius; vy1 *= bounce; }; ``` 最后，你还要将整个系统旋转归位，计算原始角度的正余弦值： ``` x1 = x2 * cos - y2 * sin; y1 = y2 * cos + x2 * sin; ``` 求得ball实例的绝对位置： ``` ball.x = line.x + x1; ball.y = line.y + y1; ``` **2.2 优化代码** 在上面的例子中，有些代码在反弹之前是没必要执行的，所以我们可以将它们放到if语句中： ``` if(y2 > -ball.radius) { var x2 = x1 * cos + y1 * sin; var vx1 = ball.vx * cos + ball.vy * sin; var vy1 = ball.vy * cos - ball.vx * sin; y2 = -ball.radius; vy1 *= bounce; //旋转回来，计算坐标和速度 x1 = x2 * cos - y2 * sin; y1 = y2 * cos + x2 * sin; ball.vx = vx1 * cos - vy1 * sin; ball.vy = vy1 * cos + vx1 * sin; ball.x = line.x + x1; ball.y = line.y + y1; }; ``` **2.3 修复“不从边缘落下”的问题** 如果你试过上面的例子，现在你也看到了，即使小球到了直线的边缘，它还是会沿着直线方向滚动，这不科学，原因在于我们是模拟，并不是真实的碰撞，小球并不知道线的起点和终点在哪里。 **2.3.1 碰撞检测** 在前面的碰撞检测中，我们介绍过一个方法tool.intersects()，可用来检测直线的边界框是否与小球的边界框重叠。 当然，我们还需要获得直线的边界框，这里给Line类添加一个方法getBound： ``` Line.prototype.getBound = function() { if(this.rotation === 0) { var minX = Math.min(this.x1, this.x2); var minY = Math.min(this.y1, this.y2); var maxX = Math.max(this.x1, this.x2); var maxY = Math.max(this.y1, this.y2); return { x: this.x + minX, y: this.y + minY, width: maxX - minX, height: maxY - minY }; } else { //基于坐标系原点旋转 var sin = Math.sin(this.rotation); var cos = Math.cos(this.rotation); var x1r = cos * this.x1 + sin * this.y1; var x2r = cos * this.x2 + sin * this.y2; var y1r = cos * this.y1 + sin * this.x1; var y2r = cos * this.y2 + sin * this.x2; return { x: this.x + Math.min(x1r, x2r), y: this.y + Math.min(y1r, y2r), width: Math.max(x1r, x2r) - Math.min(x1r, x2r), height: Math.max(y1r, y2r) - Math.min(y1r, y2r) }; } }; ``` 返回一个包含有x、y、width和height属性的矩形对象。 使用如下： ``` if(tool.intersects(ball.getBound(), line.getBound()){ } ``` 下面介绍一个更精确的方法。 **2.3.2 边界检查** ``` var bounds = line.getBound(); if(ball.x + ball.radius > bounds.x && ball.x - ball.radius <bounds.x + bounds.width){ //执行反弹 } ``` 如上代码所示，如果小球的边界框小于bounds.x（左边缘），或者大于bounds.x+bounds.width（右边缘），就说明它已经从线段上掉落了。 注意：因为小球的圆心是中心点，左边框和上边框就是圆心位置减去小球的半径，有边框和下边框就是圆心位置加上小球的半径。 **2.4 多个斜面反弹** 要实现多个斜面反弹其实也不难，只需要创建多个斜面并循环即可。 实例：canvas-demo/rotateBevel2.html 上面的例子中，我们已经实现了多个斜面反弹，可似乎有一个问题，当小球从第二个斜面掉落时，并没有掉落到第三个斜面上，而是在半空中就反弹回去了，这是为什么呢？下面我们就来修复这个问题。 **2.5 修复“线下”的问题** 在上面的检测碰撞时，首先要判断小球是否在直线附近，然后进行坐标旋转，得到旋转后的位置和速度，接着，判断小球旋转后的纵坐标y2是否越过了直线，如果超过了，则执行反弹。 ``` if(y2 > -ball.radius){} ``` 上面的代码也是导致2.4中例子没有掉落到下面的原因，因为当小球从第二个斜面掉落下，却是落到了第一个斜面的下面，也就会触发第一个斜面和小球的反弹，这不是我们想要的，如何解决呢？先看下图：  左边小球在y轴上的速度大于它与直线的相对距离，这表示它刚刚从直线上穿越下来；右边小球的速度向量小于它与直线的相对距离，这表示，它在这一帧和上一帧都位于线下，因此它此时只是在线下运动，所以我们需要的是在小球穿过直线的那一瞬间才执行反弹。 也就是：比较vy1和y2，仅当vy1大于y2时才执行反弹： ``` if(y2 > -ball.radius && y2 < vy1) {} ``` 看看修复后的例子：canvas-demo/rotateBevel3.html **总结** 这一章，我们介绍了坐标旋转和斜面反弹，其中不遗余力的分析了坐标旋转公式，并且修复了“不从边缘落下”和“线下”两个问题，一定要掌握坐标旋转，后面我们还将多处用到。 **附录** 重要公式： （1）坐标旋转 ``` x1 = x * Math.cos(rotation) - y * Math.sin(rotation); y1 = y * Math.cos(rotation) + x * Math.sin(rotation); ``` （2）反向坐标旋转 ``` x1 = x * Math.cos(rotation) + y * Math.sin(rotation); y1 = y * Math.cos(rotation) - x * Math.sin(rotation); ```