[TOC]
# 1 线段树（又名为线段修改树）
线段树所要解决的问题是，区间的修改，查询和更新，如何更新查询的更快？
线段树结构提供三个主要的方法, 假设大小为N的数组，以下三个方法，均要达到O(logN) ：
```Java
// L到R范围的数，每个数加上V
void add(int L, int R, int V, int[] arr);
// L到R范围的数，每个数都更新成V
void update(int L, int R, int V, int[] arr);
// L到R范围的数，累加和返回
int getSum(int L, int R, int[] arr);
```
## 1.1 线段树概念建立
### 1.1.1 累加和数组建立
1、对于大小为n的数组，我们二分它，每次二分我们都记录一个信息
2、对于每次二分，成立树结构，我们想拿任何区间的信息，可以由我们的二分结构组合得到。例如我们1到8的数组，可以二分得到的信息为：
```
graph TD
'1-8'-->'1-4'
'1-8'-->'5-8'
'1-4'-->'1-2'
'1-4'-->'3-4'
'5-8'-->'5-6'
'5-8'-->'7-8'
'1-2'-->'1'
'1-2'-->'2'
'3-4'-->'3'
'3-4'-->'4'
'5-6'-->'5'
'5-6'-->'6'
'7-8'-->'7'
'7-8'-->'8'
```
每一个节点的信息，可以由该节点左右孩子信息得到，最下层信息就是自己的信息。由以上的规则，对于N个数，我们需要申请2N-1个空间用来保存节点信息。如果N并非等于2的某次方，我们把N补成2的某次方的长度，用来保证我们构建出来的信息数是满二叉树。例如我们的长度是6，我们补到8个，后两个位置值为0。
对于任意的N,我们需要准备多少空间，可以把N补成2的某次方，得到的二分信息都装下？答案是4N。4N虽然有可能多分空间，但是多余的空间都是0，并无影响，而且兼容N为任意值的情况
例如四个数长度的数组arr[4]{3,2,5,7}，我们得到累加和的二分信息为如下的树：
```
graph TD
'1到4=17'-->'1到2=5'
'1到4=17'-->'3到4=12'
'1到2=5'-->'3'
'1到2=5'-->'2'
'3到4=12'-->'5'
'3到4=12'-->'7'
```
我们申请4N的空间，即16，arr[16]。0位置不用。arr[1]=17，arr[2]=5,arr[3]=12,arr[4]=3,arr[5]=2,arr[6]=5,arr[7]=7。剩下位置都为0。任何一个节点左孩子下标为2i，右孩子下标为2i+1
得到累加和信息的分布树的大小，和值的情况，那么update更新树，和add累加树，同样的大小和同样的坐标关系构建。
### 1.1.2更新结构数组建立
懒更新概念，例如有8个数，我们要把1到6的数都减小2。那么先看1到6是否完全囊括8个数，如果囊括直接更新。很显然这里没有囊括，记录要更新1到6，下发该任务给1到4和5到8。1到6完全囊括1到4，记录到lazy中，不再下发；5到8没有囊括1到6，继续下发给5到6和7到8，5到6被囊括，记录到lazy不再继续下发，7到8不接受该任务
这种懒更新机制的时间复杂度为O(logN)，由于一个区间经过左右子树下发，只会经过一个绝对路径到叶子节点，其他节点都会被懒住。如果某个节点有新的任务进来，会把之前懒住的信息下发给左右孩子
对于update操作，如果update操作经过的信息节点上存在懒任务，那么该次update操作会取消该节点的lazy，无需下发，因为下发了也会给update覆盖掉；
```Java
public class Code01_SegmentTree {
public static class SegmentTree {
// arr[]为原序列的信息从0开始，但在arr里是从1开始的
// sum[]模拟线段树维护区间和
// lazy[]为累加懒惰标记
// change[]为更新的值
// update[]为更新慵懒标记
private int MAXN;
private int[] arr;
// 4*arr.length()
private int[] sum;
// 4*arr.length()
private int[] lazy;
// 4*arr.length()
private int[] change;
// 4*arr.length()
private boolean[] update;
// 根据int[] origin来初始化我们的线段树结构
public SegmentTree(int[] origin) {
MAXN = origin.length + 1;
arr = new int[MAXN]; // arr[0] 不用 从1开始使用
for (int i = 1; i < MAXN; i++) {
arr[i] = origin[i - 1];
}
// sum数组开辟的大小是原始数组的4倍
sum = new int[MAXN << 2]; // 用来支持脑补概念中，某一个范围的累加和信息
lazy = new int[MAXN << 2]; // 用来支持脑补概念中，某一个范围沒有往下傳遞的纍加任務
change = new int[MAXN << 2]; // 用来支持脑补概念中，某一个范围有没有更新操作的任务
update = new boolean[MAXN << 2]; // 用来支持脑补概念中，某一个范围更新任务，更新成了什么
}
// 汇总当前位置rt的信息，为左孩子信息加上右孩子信息
private void pushUp(int rt) {
sum[rt] = sum[rt << 1] + sum[rt << 1 | 1];
}
// 之前的，所有懒增加，和懒更新，从父范围，发给左右两个子范围
// 分发策略是什么
// ln表示左子树元素结点个数，rn表示右子树结点个数
private void pushDown(int rt, int ln, int rn) {
// 首先检查父亲范围上有没有懒更新操作
if (update[rt]) {
// 父范围有懒更新操作，左右子范围就有懒更新操作
update[rt << 1] = true;
update[rt << 1 | 1] = true;
// 左右子范围的change以父亲分发的为准
change[rt << 1] = change[rt];
change[rt << 1 | 1] = change[rt];
// 左右子范围的懒任务全部清空
lazy[rt << 1] = 0;
lazy[rt << 1 | 1] = 0;
// 左右子范围的累加和全部变为当前父节点下发的change乘以左右孩子的范围个数
sum[rt << 1] = change[rt] * ln;
sum[rt << 1 | 1] = change[rt] * rn;
// 父范围的更新任务被分发到左右子范围，当前父范围的更新任务改为false
update[rt] = false;
}
// 如果上面的if也进入，该if也进入，表示之前的最晚懒住的更新到现在还没有发生过新的更新使之下发，却来了个add任务
// 所以该节点即懒住了更新任务，又懒住一个add任务，接着又来了一个update任务，所以更新要先下发到子范围，接着要把当前的add任务下发下去
// 如果当前节点的懒信息不为空。
if (lazy[rt] != 0) {
// 下发给左孩子
lazy[rt << 1] += lazy[rt];
sum[rt << 1] += lazy[rt] * ln;
// 下发给右孩子
lazy[rt << 1 | 1] += lazy[rt];
sum[rt << 1 | 1] += lazy[rt] * rn;
// 清空当前节点的懒任务信息
lazy[rt] = 0;
}
}
// 在初始化阶段，先把sum数组，填好
// 在arr[l~r]范围上，去build，1~N，
// rt : 这个范围在sum中的下标
public void build(int l, int r, int rt) {
if (l == r) {
sum[rt] = arr[l];
return;
}
// 得到l到r的中间位置
int mid = (l + r) >> 1;
// l到r左侧，填充到sum数组rt下标的2倍的位置，因为在数组中当前节点和左孩子的关系得到
// 递归rt左区间
build(l, mid, rt << 1);
// 右侧，填充到2*rt+1的位置
// 递归rt右区间
build(mid + 1, r, rt << 1 | 1);
pushUp(rt);
}
// 更新操作
public void update(int L, int R, int C, int l, int r, int rt) {
// 如果更新任务彻底覆盖当前边界
if (L <= l && r <= R) {
// 当前位置的update标记为true
update[rt] = true;
// 当前位置需要改变为C, update和change搭配使用
change[rt] = C;
// 当前节点的累加和信息，被C * (r - l + 1)覆盖掉
sum[rt] = C * (r - l + 1);
// 清空之前存在该节点的懒任务
lazy[rt] = 0;
return;
}
// 当前任务躲不掉，无法懒更新，要往下发
int mid = (l + r) >> 1;
// 之前的，所有懒更新，从父范围，发给左右两个子范围
pushDown(rt, mid - l + 1, r - mid);
// 更新任务发给左孩子
if (L <= mid) {
update(L, R, C, l, mid, rt << 1);
}
// 更新任务发给右孩子
if (R > mid) {
update(L, R, C, mid + 1, r, rt << 1 | 1);
}
pushUp(rt);
}
// L..R -> 任务范围 ,所有的值累加上C
// l,r -> 表达的范围
// rt 去哪找l，r范围上的信息
public void add(
int L, int R, int C,
int l, int r,
int rt) {
// 任务的范围彻底覆盖了，当前表达的范围，懒住
if (L <= l && r <= R) {
// 当前位置的累加和加上C * (r - l + 1),等同于下边节点都加上C,由于被懒住，下面节点并没有真正意思上add一个C
sum[rt] += C * (r - l + 1);
// 之前懒住的信息，例如之前该节点加上3，又来一个加上7的任务，那么此时lazt[rt]==10
lazy[rt] += C;
return;
}
// 任务并没有把l...r全包住
// 要把当前任务往下发
// 任务 L, R 没有把本身表达范围 l,r 彻底包住
int mid = (l + r) >> 1; // l..mid (rt << 1) mid+1...r(rt << 1 | 1)
// 下发之前该节点所有攒的懒任务到孩子节点
pushDown(rt, mid - l + 1, r - mid);
// 左孩子是否需要接到任务
if (L <= mid) {
add(L, R, C, l, mid, rt << 1);
}
// 右孩子是否需要接到任务
if (R > mid) {
add(L, R, C, mid + 1, r, rt << 1 | 1);
}
// 左右孩子做完任务后，我更新我的sum信息
pushUp(rt);
}
// 1~6 累加和是多少？ 1~8 rt
public long query(int L, int R, int l, int r, int rt) {
// 累加任务覆盖当前节点范围，返回当前节点范围的累加和
if (L <= l && r <= R) {
return sum[rt];
}
// 没覆盖当前节点的范围，汇总左右子范围的累加和，汇总给到当前节点
int mid = (l + r) >> 1;
pushDown(rt, mid - l + 1, r - mid);
long ans = 0;
if (L <= mid) {
ans += query(L, R, l, mid, rt << 1);
}
if (R > mid) {
ans += query(L, R, mid + 1, r, rt << 1 | 1);
}
return ans;
}
}
// 暴力解法，用来做对数器
public static class Right {
public int[] arr;
public Right(int[] origin) {
arr = new int[origin.length + 1];
// 做一层拷贝，arr[0]位置废弃不用，下标从1开始
for (int i = 0; i < origin.length; i++) {
arr[i + 1] = origin[i];
}
}
public void update(int L, int R, int C) {
for (int i = L; i <= R; i++) {
arr[i] = C;
}
}
public void add(int L, int R, int C) {
for (int i = L; i <= R; i++) {
arr[i] += C;
}
}
public long query(int L, int R) {
long ans = 0;
for (int i = L; i <= R; i++) {
ans += arr[i];
}
return ans;
}
}
public static int[] genarateRandomArray(int len, int max) {
int size = (int) (Math.random() * len) + 1;
int[] origin = new int[size];
for (int i = 0; i < size; i++) {
origin[i] = (int) (Math.random() * max) - (int) (Math.random() * max);
}
return origin;
}
public static boolean test() {
int len = 100;
int max = 1000;
int testTimes = 5000;
int addOrUpdateTimes = 1000;
int queryTimes = 500;
for (int i = 0; i < testTimes; i++) {
int[] origin = genarateRandomArray(len, max);
SegmentTree seg = new SegmentTree(origin);
int S = 1;
int N = origin.length;
int root = 1;
seg.build(S, N, root);
Right rig = new Right(origin);
for (int j = 0; j < addOrUpdateTimes; j++) {
int num1 = (int) (Math.random() * N) + 1;
int num2 = (int) (Math.random() * N) + 1;
int L = Math.min(num1, num2);
int R = Math.max(num1, num2);
int C = (int) (Math.random() * max) - (int) (Math.random() * max);
if (Math.random() < 0.5) {
seg.add(L, R, C, S, N, root);
rig.add(L, R, C);
} else {
seg.update(L, R, C, S, N, root);
rig.update(L, R, C);
}
}
for (int k = 0; k < queryTimes; k++) {
int num1 = (int) (Math.random() * N) + 1;
int num2 = (int) (Math.random() * N) + 1;
int L = Math.min(num1, num2);
int R = Math.max(num1, num2);
long ans1 = seg.query(L, R, S, N, root);
long ans2 = rig.query(L, R);
if (ans1 != ans2) {
return false;
}
}
}
return true;
}
public static void main(String[] args) {
int[] origin = { 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5 };
SegmentTree seg = new SegmentTree(origin);
int S = 1; // 整个区间的开始位置，规定从1开始，不从0开始 -> 固定
int N = origin.length; // 整个区间的结束位置，规定能到N，不是N-1 -> 固定
int root = 1; // 整棵树的头节点位置，规定是1，不是0 -> 固定
int L = 2; // 操作区间的开始位置 -> 可变
int R = 5; // 操作区间的结束位置 -> 可变
int C = 4; // 要加的数字或者要更新的数字 -> 可变
// 区间生成，必须在[S,N]整个范围上build
seg.build(S, N, root);
// 区间修改，可以改变L、R和C的值，其他值不可改变
seg.add(L, R, C, S, N, root);
// 区间更新，可以改变L、R和C的值，其他值不可改变
seg.update(L, R, C, S, N, root);
// 区间查询，可以改变L和R的值，其他值不可改变
long sum = seg.query(L, R, S, N, root);
System.out.println(sum);
System.out.println("对数器测试开始...");
System.out.println("测试结果 : " + (test() ? "通过" : "未通过"));
}
}
```
## 1.2 线段树案例实战
想象一下标准的俄罗斯方块游戏，X轴是积木最终下落到底的轴线
下面是这个游戏的简化版：
1）只会下落正方形积木
2）[a,b] -> 代表一个边长为b的正方形积木，积木左边缘沿着X = a这条线从上方掉落
3）认为整个X轴都可能接住积木，也就是说简化版游戏是没有整体的左右边界的
4）没有整体的左右边界，所以简化版游戏不会消除积木，因为不会有哪一层被填满。
给定一个N*2的二维数组matrix，可以代表N个积木依次掉落，
返回每一次掉落之后的最大高度
> 线段树原结构，是收集范围累加和，本题是范围上收集最大高度当成收集的信息
```Java
public class Code02_FallingSquares {
// 0位置不用，从1开始
public static class SegmentTree {
private int[] max;
private int[] change;
private boolean[] update;
public SegmentTree(int size) {
int N = size + 1;
max = new int[N << 2];
change = new int[N << 2];
update = new boolean[N << 2];
}
private void pushUp(int rt) {
max[rt] = Math.max(max[rt << 1], max[rt << 1 | 1]);
}
// ln表示左子树元素结点个数，rn表示右子树结点个数
private void pushDown(int rt, int ln, int rn) {
if (update[rt]) {
update[rt << 1] = true;
update[rt << 1 | 1] = true;
change[rt << 1] = change[rt];
change[rt << 1 | 1] = change[rt];
max[rt << 1] = change[rt];
max[rt << 1 | 1] = change[rt];
update[rt] = false;
}
}
public void update(int L, int R, int C, int l, int r, int rt) {
if (L <= l && r <= R) {
update[rt] = true;
change[rt] = C;
max[rt] = C;
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
pushDown(rt, mid - l + 1, r - mid);
if (L <= mid) {
update(L, R, C, l, mid, rt << 1);
}
if (R > mid) {
update(L, R, C, mid + 1, r, rt << 1 | 1);
}
pushUp(rt);
}
public int query(int L, int R, int l, int r, int rt) {
if (L <= l && r <= R) {
return max[rt];
}
int mid = (l + r) >> 1;
pushDown(rt, mid - l + 1, r - mid);
int left = 0;
int right = 0;
if (L <= mid) {
left = query(L, R, l, mid, rt << 1);
}
if (R > mid) {
right = query(L, R, mid + 1, r, rt << 1 | 1);
}
return Math.max(left, right);
}
}
// positions
// [2,7] -> 表示位置从2开始，边长为7的方块，落下的x轴范围为2到8，不包括9是因为下一个位置为9可以落得下来； 2 , 8
// [3, 10] -> 3, 12
//
// 用treeSet做离散化，避免多申请空间
public HashMap<Integer, Integer> index(int[][] positions) {
TreeSet<Integer> pos = new TreeSet<>();
for (int[] arr : positions) {
pos.add(arr[0]);
pos.add(arr[0] + arr[1] - 1);
}
HashMap<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
int count = 0;
for (Integer index : pos) {
map.put(index, ++count);
}
return map;
}
public List<Integer> fallingSquares(int[][] positions) {
HashMap<Integer, Integer> map = index(positions);
// 100 -> 1 306 -> 2 403 -> 3
// [100,403] 1~3
int N = map.size(); // 1 ~ N
SegmentTree segmentTree = new SegmentTree(N);
int max = 0;
List<Integer> res = new ArrayList<>();
// 每落一个正方形，收集一下，所有东西组成的图像，最高高度是什么
for (int[] arr : positions) {
int L = map.get(arr[0]);
int R = map.get(arr[0] + arr[1] - 1);
int height = segmentTree.query(L, R, 1, N, 1) + arr[1];
max = Math.max(max, height);
res.add(max);
segmentTree.update(L, R, height, 1, N, 1);
}
return res;
}
}
```
本题为leetCode原题：https://leetcode.com/problems/falling-squares/
## 1.3 什么样的题目可以用线段树来解决？
区间范围上，统一增加，或者统一更新一个值。大范围信息可以只由左、右两侧信息加工出，
而不必遍历左右两个子范围的具体状况
- 第一节 复杂度、排序、二分、异或
- 第二节 链表、栈、队列、递归、哈希表、顺序表
- 第三节 归并排序、随机快排介绍
- 第四节 比较器与堆
- 第五节 前缀树、桶排序以及排序总结
- 第六节 链表相关面试题总结
- 第七节 二叉树基本算法
- 第八节 二叉树的递归思维建立
- 第九节 贪心算法深度剖析
- 第十节 并查集、图相关算法介绍
- 第十一节 暴力递归思维、动态规划思维建立
- 第十二节 用简单暴力递归思维推导动态规划思维
- 第十三节 单调栈和窗口及其更新结构
- 第十四节 类似斐波那契数列的递归
- 第十五节 认识KMP算法与bfprt算法
- 第十六节 认识Manacher(马拉车)算法
- 第十七节 认识Morris遍历
- 第十八节 线段树
- 第十九节 打表技巧和矩阵处理技巧
- 第二十节 组累加和问题整理
- 第二十一节 哈希函数有关的结构和岛问题
- 第二十二节 解决资源限制类题目
- 第二十三节 有序表原理及扩展
- 第二十四节 AC自动机和卡特兰数
- 第二十五节 算法面试专题-链表
- 第二十六节 算法面试专题-二叉树
- 第二十七节 算法面试专题-字符串