## **前言** 随着计算机性能的提升，市面上的加密技术越来越不安全，1024位的RSA私钥加密已经可以破解，目前有效的手段只是将1024位换成2048位，但随着技术的进步，RSA算法的破解难度会越来越低，因此需要用更安全的加密算法来代替，下面我们来介绍更为安全的ECC公钥加密算法 **什么是ECC** ECC是Elliptic Curve Cryptography（椭圆曲线密码学）的缩写，是一种基于椭圆曲线数学的公开密钥加密算法，其本质是利用离散对数问题实现加密。 ECC的主要优势，是在使用更小的密钥的同时，提供更快的性能和更高等级的安全。 **什么是椭圆曲线** Wolfram MathWorld（线上数学百科全书，[http://mathworld.wolfram.com](http://mathworld.wolfram.com/)） 给出了非常精准的定义： 一条椭圆曲线就是一组被 y^2 = x^3 + ax + b 定义的且满足 4a^3 + 27b^2 ≠ 0 的点集。 4a^3 + 27b^2 ≠ 0 这个限定条件是为了保证曲线不包含奇点（在数学中是指曲线上任意一点都存在切线）。 椭圆曲线示例图：  ~~~ 不同的椭圆曲线对应不同的形状（b=1，a从2到-3) ~~~  ~~~ 左（带锐点）：y^2 = x^3 右（曲线自交）：y^2 = x^3 -3x + 2 都不是有效的椭圆曲线 ~~~ ## **关于阿贝尔群(abelian group)** 阿贝尔群的概念是抽象代数的基本概念之一，是一种代数结构，由一个集合以及一个二元运算所组成。 如果一个集合或者运算是群的话，就必须满足以下条件（+ 表示二元运算）： 1、封闭性（closure），如果a和b被包含于群，那么a+b也一定是群的元素； 2、结合律(associativity)； 3、存在一个单位元（identity element）0，0与任意元素运算不改变其值的元素，即 a+0 = 0+a = a； 4、每个元素都存在一个逆元(inverse)； 5、交换律(commutativity)，即 a+b = b+a； # **椭圆曲线中的阿贝尔群** * * * 我们可以在椭圆曲线上定义一个群： 1、群中的元素就是椭圆曲线上的点； 2、单位元就是无穷处的点0； 3、相反数P，是关于X轴对称的另一边的点； 4、二元运算规则定义如下：取一条直线上的三点（这条直线和椭圆曲线相交的三点），P, Q, R（皆非零），他们的总和等于0， P+Q+R=0。  如果P, Q, R在一条直线上的话，他们满足: ~~~ P+(Q+R)=Q+(P+R)=R+(P+Q)=⋯=0。 ~~~ 当P，Q点为同一点时,P=Q，满足：  这样，我们可以直观的证明：+运算符是符合交换律和结合律的，这是一个阿贝尔群。 因为阿贝尔群满足交换律和结合律，所以点P和点-R的二元运算结果必会在曲线上，即P+P+P的结果必会在曲线上的另一点Q， 以此类推，可以得出得出： ~~~ Q=kP(k个相同的点P进行二元运算（数乘）,记做kP) ~~~ ## **离散对数问题** 前文中有提到离散对数问题，我们熟悉的RSA算法，是基于大数的质因数分解，即对两个质数相乘容易，而将其合数分解很难的这个特点进行加密。 而ECC算法是在有限域Fp定义公式：Q=kP，已知大数k和点P的情况下，很容易求点Q，但是已知的点P、点Q，却很难求得k，这就是经典的离散对数问题，ECC算法正是利用该特点进行加密，点Q为公钥，大数k为私钥，点P为基点，和RSA最大的实际区别，主要是密钥长度 ## **椭圆曲线加密算法原理** 描述一条Fp上的椭圆曲线，常用到六个参量：T=(p,a,b,n,x,y)。 （p 、a 、b） 用来确定一条椭圆曲线，p为素数域内点的个数，a和b是其内的两个大数； x,y为G基点的坐标，也是两个大数； n为点G基点的阶； 以上六个量就可以描述一条椭圆曲线，有时候我们还会用到h(椭圆曲线上所有点的个数p与n相除的整数部分)。 现在我们描述一个利用椭圆曲线进行加密通信的过程： 1、选定一条椭圆曲线 Ep(a,b) 并取椭圆曲线上一点，作为基点P。 2、选择一个大数k作为私钥，并生成公钥 Q=kP。 3、将 Ep(a,b) 和点Q、P传给用户。 4、用户接到信息后 ，将待传输的明文编码到Ep(a,b)上的一点M，并产生一个随机整数r。 5、公钥加密（密文C是一个点对）： C={rP, M+rQ} 6、私钥解密（M + rQ - k(rP) ，解密结果就是点M），公式如下： ~~~ M + rQ - k(rP) = M + r(kP) - k(rP) = M ~~~ 7、对点M进行解码就可以得到明文 假设在加密过程中，有一个第三者H，H只能知道椭圆曲线 Ep(a,b)、公钥Q、基点P、密文点C，而通过公钥Q、基点P求私钥k或者通过密文点C、基点P求随机数r都是非常困难的，因此得以保证数据传输的安全。 ## **ECC应用** 因为在安全性、加解密性能、网络消耗方面有较大优势，ECC加密算法大有取代RSA成为下一代主流加密算法的趋势。如今ECC应用范围很广，在TLS、区块链（比特币、以太坊等等）、SM2国密算法、证书、银行政府机构等许多方面都有大量应用。