[TOC]
## 题型归纳
### 求集合的子集，真子集
>[info] **例1** 写出集合`$ A=\{a,b,c\} $`的子集和真子集，以及`$ B=\{x|x\subseteq A\} $`，并判断`$ A $`和`$ B $`的关系.
### 空集概念辨析
>[info] **例2** 下列各式中，正确的是\_\_\_\_\_\_\_.
> （1）`$ \varnothing =\{0\} $`；
> （2）`$ \varnothing \subseteq \{0\} $`；
> （3）`$ 0\in \{0\} $`；
> （4）`$ 0=\{0\} $`；
> （5）`$ \varnothing \in \{0\} $`；
> （6）`$ \{1\}\in \{1,2,3\} $`；
> （7）`$ \{1,2\}\subseteq \{1,2,3\} $`；
> （8）`$ \varnothing \in \{\varnothing\} $`；
> （9）`$ \{a,b\}\subseteq \{b,a\} $`；
> （10）`$ \varnothing \subseteq \{\varnothing\} $`.
### `$ n $`元集合的子集个数
>[info] **例3** 集合`$ M = \left\{ {1,2,3,4,5} \right\} $`的子集个数是\_\_\_\_\_\_\_，真子集的个数是\_\_\_\_\_\_\_，非空子集的个数是\_\_\_\_\_\_\_，非空真子集的个数是\_\_\_\_\_\_\_.
>[info] **例4** 满足条件`$ \left\{1,2\right\} \subseteq A \subseteq \left\{1,2,3,4,5\right\} $`的集合`$ A $`的个数是\_\_\_\_\_\_\_.
>[success] **练4.1** 满足条件`$ \left\{1,2\right\} \subseteq A \subsetneqq \left\{1,2,3,4,5\right\} $`的集合`$ A $`的个数是\_\_\_\_\_\_\_.
>[success] **练4.2** 满足条件`$ \left\{1,2\right\} \subsetneqq A \subsetneqq \left\{1,2,3,4,5\right\} $`的集合`$ A $`的个数是\_\_\_\_\_\_\_.
### 判断两个集合的包含关系
>[info] **例5** 判断下列各组集合之间的关系：
> （1）`$ A=\{ -1,1\} $`，`$ B=\{ x\in \mathbf Z|{{x}^{2}}=1\} $`；
> （2）`$ A=\{ -1,1\} $`，`$ B=\{ \varnothing ,\left\{ -1 \right\},\left\{ -1,1 \right\} \} $`；
> （3）`$ A=\{ x|x{\text{是等边三角形}}\} $`，`$ B=\{x|x{\text{是等腰三角形}}\} $`；
> （4） `$ A=\{ x|x={{a}^{2}}+1,a\in \mathbf R\} $`，`$ B=\{ x|x={{b}^{2}}-4b+3,b\in \mathbf R\} $`；
> （5） `$ A=\{ x|x=\dfrac{n}{2},n\in \mathbf Z\} $`，`$ B=\{ x|x=\dfrac{n}{2}+1,n\in \mathbf Z\} $`；
> （6）`$ A=\{ (x,y)|y=|x|\} $`，`$ B=\{ (x,y)|x\in \mathbf R,y>0\} $`；
> （7） `$ A=\{ (x,y)|y=x-1\} $`，`$ B=\{ (x,y)|\dfrac{y-1}{x-2}=1\} $`.
### 已知集合相等求参数
>[info] **例6** 已知集合`$ P=\{1,a-1,2\} $`，`$ Q=\{a^2-2a+2,1,a-1\} $`，若`$ P=Q $`，则`$ a= $`\_\_\_\_\_\_\_.
### 根据集合的包含关系求参数
>[info] **例7** 已知集合`$ A=\left\{x|x^2-3x-4=0\right\} $`，集合`$ B=\left\{x|mx-1=0\right\} $`，若`$ B\subseteq A $`，则实数`$ m= $`\_\_\_\_\_\_\_.
>[info] **例8** 若集合`$ A=\left\{x|-2\leqslant x\leqslant 5\right\} $`，`$ B=\left\{x|m+1\leqslant x\leqslant 2m-1\right\} $`，且`$ B\subseteq A $`，则实数`$ m $`的范围为\_\_\_\_\_\_\_.
>[success] **练8.1** 若集合`$ A=\left\{x|-2<x<5\right\} $`，`$ B=\left\{x|m+1\leqslant x\leqslant 2m-1\right\} $`，且`$ B\subseteq A $`，则实数`$ m $`的范围为\_\_\_\_\_\_\_.
>[success] **练8.2** 若集合`$ A=\left\{x|-2\leqslant x\leqslant 5\right\} $`，`$ B=\left\{x|m+1\leqslant x\leqslant 2m-1\right\} $`，且`$ B\subsetneqq A $`，则实数`$ m $`的范围为\_\_\_\_\_\_\_.
## 针对训练
1. 设集合`$ M=\left\{x|x=4n+1,n\in \mathbf Z\right\} $`，`$ N=\left\{x|x=2n+1,n\in \mathbf Z\right\} $`，则集合`$ M $`与集合`$ N $`之间的关系为\_\_\_\_\_\_\_.
1. 已知`$ A=\{2,3,4\} $`，`$ B=\{x | x \subseteq A\} $`，则集合`$ A $`与`$ B $`之间的关系为\_\_\_\_\_\_\_.
1. 已知两个集合`$ A=\left\{x \in \mathbf{R} | y=\dfrac{1}{x}\right\} $`，`$ B=\left\{y \in \mathbf{R} | y=\dfrac{1}{x}\right\} $`，则集合`$ A $`与集合`$ B $`之间的关系为\_\_\_\_\_\_\_.
1. 已知集合`$ A \subseteq\{0,1,2,3\} $`，且集合`$ A $`中至少含有一个偶数，则这样的集合`$ A $`的个数为\_\_\_\_\_\_\_.
1. 已知集合`$ A=\left\{x | x^{2}-x+a=0\right\} $`的子集有`$ 4 $`个，则实数`$ a $`的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_.
1. 已知集合`$ A=\left\{x | x=\dfrac{2 n+1}{3}, n \in \mathbf Z\right\} $`，`$ B=\left\{x | x=\dfrac{2 n}{3}+1, n \in \mathbf Z\right\} $`，则集合`$ A $`，`$ B $`的关系为\_\_\_\_\_\_\_.
1. 已知集合`$ A=\left\{x | x^{2}-3 x+2=0, x \in \mathbf{R}\right\} $`，`$ B=\{x | 0<x<5, x \in \mathbf{N}\} $`，则满足条件`$ A \subseteq C \subseteq B $`的集合`$ C $`的个数为\_\_\_\_\_\_\_.
1. 同时满足条件：（1）`$ M \subseteq\{1,2,3,4,5\} $`；（2）若`$ a \in M $`则`$ 6-a \in M $`，这样的集合`$ M $`有\_\_\_\_\_\_\_ 个.
1. 若集合`$ \{(x, y) | x+y-2=0, {\text{且}} x-2 y+4=0\} \subseteq\{(x, y) | y=3 x+b\} $`，则`$ b= $`\_\_\_\_\_\_\_.
1. 若集合`$ M=\left\{x | x^{2}+x-6=0\right\} $`，`$ N=\{x |(x-2)(x-a)=0\} $`，且`$ N \subseteq M $`，则实数`$ a= $`\_\_\_\_\_\_\_.
1. 已知集合`$ A=\{-1 \leqslant x \leqslant 2\} $`，`$ B=\{x | 2 a-9<x<a\} $`，若`$ A \subseteq B $`，则`$ a $`的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_.
1. 已知集合`$ A=\{x | x<-1{\text{或}}x>4\} $`，`$ B=\{x | 2 a \leqslant x \leqslant a+3\} $`，若`$ B \subseteq A $`，则`$ a $`的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_.
1. 若集合`$ A=\left\{x|-2<x<7\right\} $`，`$ B=\left\{x|a+1\leqslant x\leqslant{}2a-1\right\} $`，且`$ B\subseteq A $`，则实数`$ a $`的范围为\_\_\_\_\_\_\_.
1. 设集合`$ A=\{x| | x-a |<2\} $`，`$ B=\left\{x | \dfrac{2 x-1}{x+2}<1\right\} $`，若`$ A \subseteq B $`，则`$ a $`的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_.
1. 若集合`$ A=\left\{x |(k-1) x^{2}+x-k=0\right\} $`有且仅有两个子集，则实数`$ k $`的值是\_\_\_\_\_\_\_.
1. 设集合`$ A=\{0,-4\} $`，`$ B=\left\{x | x^{2}+2(a+1) x+a^{2}-1=0\right\} $`.若`$ B \subseteq A $`,求实数`$ a $`的取值范围．
## 能力提升
1. 设集合`$ A $`，对于`$ k \in A $`，如果`$ k-1 \notin A $`且`$ k+1 \notin A $`，那么`$ k $`是`$ A $`的一个“孤立元”，给定`$ S=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} $`，由`$ S $`的`$ 3 $`个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有\_\_\_\_\_\_\_.
1. 已知集合`$ A=\{x | 1<a x<2\} $`，`$ B=\{x |-1<x<1\} $`，若`$ A \subseteq B $`，则$a$的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_.
1. 已知集合`$ A=\left\{x | x^{2}-x-2>0\right\} $`，`$ B=\left\{x | x^{2}+4 x+p<0\right\} $`，且`$ B \subseteq A $`，则实数`$ p $`的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_.
1. 不等式`$ \left|x-\dfrac{(a+1)^{2}}{2}\right| \leqslant \dfrac{(a-1)^{2}}{2} $`与`$ x^{2}-3(a+1) x+2(3 a+1) \leqslant 0 $`的解集分别为`$ A $`，`$ B $`，其中`$ a \in \mathbf{R} $`，求使`$ A \subseteq B $`的`$ a $`的取值范围.
