# 深入探索OpenGL **难度分级：☆☆☆☆☆☆☆☆** 从这一章开始，我们将深入Minecraft底层，探索其实现的基本原理并加以适当延申，使得你在模组开发的过程能够对手中的代码拥有更加深刻的理解，在遇到问题或需求时能够更快的找到问题并灵活变通。由于高级篇中涉及到的大量内容较为理论，**在开始阅读之前请务必确保你已经基本掌握了之前章节的全部内容**。 ## 点，线，面 你可能对**点、线、面**这些术语在**数学**中的含义已经有了一个很好的理解。在OpenGL中也有这些基本概念，他们所对应的含义和在数学中**类似，但又不完全相同。** 一种差异来自于**计算机存储和计算能力的局限性**。对计算机而言，浮点计算的精度都是有限的，并且具有**取舍误差**。因此，在OpenGL中描述点，线和面的坐标时也会遭受这样的问题。 另一个更重要的区别来自于光栅图形显示的局限性。在显示器上，最小的可显示单位是**像素**，尽管像素的宽度可能小于1/100英寸，但它们仍远大于数学中**无穷小**（对于点）和**无穷细**（对于线）的概念。 ### **点** 在OpenGL中，点也被称为 **“顶点（Vertex）”** 。一个顶点由一组**四维**浮点型坐标`$ (x,y,z,w) $`表示。**在一般情况下，`$ w $`会被自动设为1，用户只需要操作其中的前三个数值**，当`$ w $`不为1时，这个点代表一**个欧几里得空间**中对应坐标为`$ (\frac{x}{w},\frac{y}{w},\frac{z}{w},w) $`的三维点。这么做的原因将很快在下文中得到解释。 ### **线** 在OpenGL中，“线”是指**线段**，而不是数学上能够无限延伸的“直线”或者“射线”。在OpenGL中，一根线是由其在两端的顶点所指定的。 ### **多边形** 在OpenGL中，多边形是由**一组线段闭合包围成环所组成的**，其中线段由其端点处的顶点指定。 在数学中，多边形可能会十分复杂，因此OpenGL对多边形进行了一些严格的限制。首先，**OpenGL多边形的边缘不能相交**（数学家将满足此条件的多边形称为简单多边形）。第二，**OpenGL多边形必须是凸多边形**，即**如果给定多边形内部的任何两个点，连接它们的线段也应当位于该多边形的内部**。第三，**OpenGL多边形所围成的区域必须是单连通区域**，即多边形内部不能有“洞”。  ## OpenGL基础 —— 齐次坐标与变换矩阵 &nbsp;&nbsp;难度分级：☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆ **PS：有关本章的详细内容请参考Foley，van Dam，Feiner和Hughes所著的《计算机图形学：原理与实践》。** ### **齐次坐标** 用户通常处理的都是二维和三维的顶点，但实际上，它们在OpenGL内部都被视为**包含四个坐标的三维齐次顶点**。如果一个四维向量`$ (x,y,z,w) $`中的**至少一个元素非零**，则这个向量表示一个**齐次顶点**。**`$ w $`可以理解为一个比例系数，用于对三维坐标进行缩放**。若**实数`$ a $`不为零**，则`$ (x,y,z,w) $`和`$ (ax,ay,az,aw) $`表示一个相同的齐次顶点 **（因为`$ \frac{x}{w}=\frac{ax}{aw},\frac{y}{w}=\frac{ay}{aw},\frac{z}{w}=\frac{az}{aw} $`）** 。一个**三维欧几里德空间**中的点`$ (x,y,z) $`对应一个`$ (x,y,z,1.0) $`的齐次顶点，而一个**二维欧几里得空间**中的点`$ (x,y) $`对应一个`$ (x,y,0.0,1.0) $`的齐次顶点。 当`$ w = 0.0 $`时，齐次坐标不对应于任何一个欧氏空间中的点，而是对应于一个理想化的 **“无穷大点”** 。要想理解这一概念的意义并不困难，例如若要考虑点`$ (1,2,0,0) $`的意义，只需要注意到当 **`$ w $`逐渐趋向于0时** （例如当`$ w=1,0.01,0.001 $`时分别对应欧氏空间中的`$ (1,2),(100,200),(10000,20000) $`），这一点沿直线`$ y=2x $`逐渐**趋向于无穷大**，因此可将`$ (1,2,0,0) $`视为直线`$ y=2x $`方向上的**无穷远点**。**PS：OpenGL可能无法正确处理`$ w<0 $`的齐次坐标。为确保你的代码可在OpenGL上正确运行，请仅使用非负`$ w $`值。** ### **变换矩阵** #### **顶点变换** 如果要对一个顶点进行某些**线性变换操作**（如旋转，平移，缩放，投影等），可以通过引入一个**同阶数的方阵**（对于一个齐次坐标则需要引入一个4*4的方阵）并通过**矩阵乘法**来完成。即如果`$ v $`代表一个齐次坐标顶点，`$ M $`为一个特定的4阶变换方阵，则`$ Mv $`的结果就代表顶点`$ v $`在变换`$ M $`下的象。 **PS：变换矩阵`$ M $`通常要求为非奇异矩阵，即M可逆。尽管这不是硬性规定，但如果`$ M $`为奇异矩阵，其变换结果可能会出现问题。** #### **法线变换（平面变换）** 由**解析几何**知识可知，一条**法线**对应**唯一一个垂直于该法线的平面**。在OpenGL中，法线的变换方式与顶点的变换方式略有不同。 设**齐次坐标下**平面方程为`$ ax+by+cz+dw=0 $`，则行向量`$ (a,b,c,d) $`可以**唯一表示一张齐次平面**，其中`$ a,b,c,d $`中的至少一个非零。如果`$ q $`为非零实数，则`$ (a,b,c,d) $`和`$ (qa,qb,qc,qd) $`表示同一平面。若`$ ax_0+by_0+cz_0+dw_0=0 $`，则点`$ (x_0,y_0,z_0,w_0)^T $`在平面`$ (a,b,c,d) $`上。 若`$ p $`为一齐次平面，`$ v $`为一齐次顶点，则 **`$ v $`位于平面`$ p $`上** 可表示为`$ pv=0 $`。如果`$ M $`是一个**非奇异变换矩阵**，则`$ pv=0 $`等效于`$ pM^{-1}Mv=0 $`，即`$ Mv $`在平面`$ pM^{-1} $`上。因此，`$ pM^{-1} $`是平面`$ p $`在变换`$ M $`下的象。 下面列出了一些OpenGL中常用的变换操作及其对应的变换矩阵： #### **平移变换** 对于一个平移指令 **（例如`glTranslate(x,y,z)`）** ，OpenGL会生成一个对应的平移矩阵T： ```[math] T=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 &x \\ 0 & 1 & 0 &y \\ 0 & 0 & 1 &z \\ 0 & 0 & 0 &1 \end{bmatrix} ``` 在一个齐次坐标系中，若记一点的原坐标为`$ A=(x_0,y_0,z_0,w)^T $`，则其经平移变换`$ T $`后的坐标则为`$ A'=TA=(x_0+x,y_0+y,z_0+z,w)^T $` #### **缩放变换** 对于一个缩放指令 **（例如`glScale(x,y,z)`）** ，OpenGL会生成一个对应的缩放矩阵S： ```[math] S=\begin{bmatrix} x & 0 & 0 &0 \\ 0 & y & 0 &0 \\ 0 & 0 & z &0 \\ 0 & 0 & 0 &1 \end{bmatrix} ``` 在一个齐次坐标系中，若记一点的原坐标为`$ A=(x_0,y_0,z_0,w)^T $`，则其经缩放变换`$ S $`后的坐标则为`$ A'=SA=(x \cdot x_0,y \cdot y_0,z \cdot z_0,w)^T $` #### **旋转变换** 对于一个旋转指令 **（例如`glRotate(a,x,y,z)`，参数中a为旋转角度，(x,y,z)为旋转轴向量（右手原则））** ，OpenGL会按如下步骤生成一个对应的旋转矩阵R： * 取`$ v=(x,y,z)^T $`并求出其单位向量`$ u=\frac{v}{||v||}=(x',y',z')^T $`**（||v||为v的模）** * 令`$ S=\begin{bmatrix} 0 & -z' & y' \\ z' & 0 & -x' \\ -y' & x' & 0 \end{bmatrix} $`，`$ M=uu^T+(cosa)(I-uu^T)+(sina)S $` * 易见`$ M $`为一个3*3矩阵，设`$ M=\{m_{ij}\} $`，则`$ R=\begin{bmatrix} m_{11} &m_{12} & m_{13} & 0 \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} &0 \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} &0 \\ 0 & 0 & 0 &1 \end{bmatrix} $` #### **透视投影** 对于一个透视投影指令 **（例如`glFrustum(l,r,b,t,n,f)`）** ，OpenGL会生成一个对应的变换矩阵P： ```[math] P=\begin{bmatrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} &0 \\ 0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b} &0 \\ 0 & 0 & \frac{-(f+n)}{f-n} &\frac{-2fn}{f-n} \\ 0 & 0 & -1 &0 \end{bmatrix} ``` #### **正投影** 对于一个正投影指令 **（例如`glOrtho(l,r,b,t,n,f)`）** ，OpenGL会生成一个对应的变换矩阵P： ```[math] P=\begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 &\frac{r+l}{r-l} \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 &\frac{t+b}{t-b} \\ 0 & 0 & \frac{-2}{f-n} &\frac{f+n}{f-n} \\ 0 & 0 & 0 &1 \end{bmatrix} ```